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从打结谈起——王诗宬
时间:2009-06-02  



主持人:在上个世纪的100年里,中国人跟数学比较亲近的是70年代末,那时候有一位大数学家,他教给我们哥德巴赫猜想,但同时他也暗示我们,做数学家呢,一定要耐得住寂寞,而且数学是一件抽象、乏味的劳动,但是不是这样呢?北大数学所的副所长王诗宬教授呢,一定反对这个说法。好,有请王教授,请坐。

主持人:那咱们就马上就请王教授给我们带来一个精彩的学术报告,报告的名字叫“从打结谈起”,但是这个“打结”呢,不是打劫银行的打劫,是打绳结的意思。好,有请。

王诗宬:谢谢。

    打结大概是我们生活中最常见的一种现象。我们所有人都在打结,你每天系鞋带,就是说吧,打结这种现象已经存在几千年了。你看通常我们认为,像这个样子我们就说还没有打结,这个就像我上面画的这根线,这个样子没有打结。像这个样子呢,我因为这个太短了,我弄不起来,像这个样子呢,你看上去是已经打了一个结了,但这个结是假的,你稍微一抖它就出来了,换句话说,就是说哪怕你把这个两头固定住了不动,一抖就出来了。那么这个结你就发现它是一个真的,就是说你把两头固定住了的话,你永远不能把它变成这个样子。下面这个结也是真的,你把两头固定住了的话,永远不能变成这个样子,而且这两个也永远不能互变,经验告诉你。数学上为了把这个两头固定住的话去掉,就想个办法把它封闭起来,第一个封闭起来就变成一个通常的圆圈,这样的圆圈我们叫做没有打结,这个样子封闭起来就变成这个,这个其实看上去是很复杂,其实它也没有打,你把这个东西一拉拉出来,一抖就抖散了,那么这个东西你永远抖一千年,但是不要抖断了,它都抖不散,下面这个也抖不散,而且这两个不能互变。

    打结这件事情,其实就是我们天天都碰到的。刚才我说过了,第一像上古结绳而系,其实不单是上古结绳而系,一直到大概非常最近吧,50年代的时候,他们这些做社会调查的人,我看那个报告,到一个少数民族叫多隆族,那个时候,他们50年代的时候居住在大山里面,一家人一家人离得很远,一个村落、一个村落,然后要走很远的路程才能碰到一块,那个时候你可以想象的,没有电话,什么现代工具都没有。他们大概处在一种很原始的方式,比如一家的儿子要跟一家的女儿要结婚,那么通常这家人的家长和另外一家的家长,就走到一个大山的某一个地方碰了头,碰了头以后他们就要约定,回去要准备啊,准备但是多少天呢,他们的记数的能力很差,他们就是每个人都习惯的从腰里解一个带子下来,然后就在带子上打结。比如他们说,这是我说的,26天以后结婚,那么就在带子上打26个结,他们这个非常简单的,就是说他们不能数很大的数,但是他们知道一一对应,就是这边拿出一个来、那边拿出一个来,两个都一样多的结,然后各自就回家了。回家以后,每天早晨太阳升起来的时候,他就把结松开一个,第二天太阳升起的时候再松开一个,两边都松,松到还有最后一个结的时候他们就开始杀猪宰羊了。

    现象中另外一种现象就是说,天上一个鸟,一个鸟窝,鸟在天上飞,飞、飞、飞…,再飞回去的时候,回到鸟窝里的时候,它在空中飞行的路线常常就是一个结,是一个真正的结,人是永远打不起结来的,人在地球上走,你出去走一圈,然后再回到家里面去,你想象你的脚上扣一根绳,这根绳在路上面永远不互相碰,无论你怎么走,走到最后回家的这根绳打起来的时候,它一抖就抖开了,这是永远不能打结的,所以鸟的本事比人大。在某种意义上就是,给你一根线,你穿来穿去、穿来穿去,然后把它一打打起来,其实我们每个人的母亲在打毛线,拿两根针在那儿挑,最后到完了的时候,打一个疙瘩。所以原来你给她一根线,她扔给你的时候是一件毛衣,你穿在身上绝对抖不开的。

    所以纽结这种东西尽管用了几千年,它从来没有成为科学的一个分支,大概真的很认真的成为科学的一个分支的时候是上上世纪末,上上世纪70、80年代的时候,大概学物理的人都知道有个开尔文,开尔文就是以前从古希腊以来,人们都是觉得,他要研究现象,研究物质是什么东西构成的,就说物质是由某种颗粒构成的吧,它在一个层次上比如说是分子,如果分子解释不了,不能再进一步解释的时候,就说是由更细的东西构成的,那这个东西就叫原子,要是原子再不能解释,那我就再往下,所以叫分离法,从古希腊以来。当时所有英国的绅士都特别喜欢抽烟,一团一团的烟圈在空中环绕着,他当时看了以后,(突然)心生一亮,他说也许这个分离法的解释世界的方式是不对的,他说也许这个构成我们物质的基本的离子是个纽结,物质的不同性质呢,是因为它打结的方法不同而形成的,因为他当时非常有声望,所以于是有一些物理学家,尤其是英国物理学家,以泰特为首的,他们非常相信他的这种说法,于是他们就开始要找纽结表,他要把纽结列出来,如果你比如说物质是由原子构成的,那它就要列一个原素周期表,同样的,你说如果构成物质的基本东西是纽结的话,那你还要做一个纽结的表。

    他们认为他们把所有自交数小于等于九的纽结全列出来了,但这个是一个非常困难的事情,就是说他们怎么能知道他们不遗漏?第二,他们怎么能知道,比如说这两个就不一样了。比如说这三个纽结,看起来很不一样,其实它是一模一样的,一模一样就是只要你在空间进行滑动,动来动去,完全不要拉扯断,可以把其中的这个互相互变,我们当然没有时间做这种事情,而且常常其实就是说,当时这个泰特他们花了20年的时间造了这个纽结表,造了这个纽结表,造完了以后,他们自己觉得从经验上说来,他们认为他们这个里面没有重合的、也没有遗漏的,但在数学上是没有证明的。

    后来物理学家还是迅速的放弃了这个开尔文的学说,所以物理学家就把这个纽结忘掉了,不是忘掉了,就是不再研究这个东西。但对数学家来说,就突然有一个任务,第一次发现这张表在他们面前,数学家在某种意义上比较有雄心,或者比较没有事可做,他就说为什么这个表就是对的?然后他们就是研究,当时刚好在上(上)个世纪末,由于天体力学的原因,庞凯莱研究天体力学的时候,产生了拓扑学这个分支,然后拓扑学是一个很好的工具拿来研究纽结,然后他们就真的进行了大量的研究,研究了从上世纪初,可以说一直到现在仍然在研究,当然把这个表弄清楚了,大概到60、70年代时候,慢慢就清楚了。

    大概一直到本世纪70年代、80年代、90年代的时候,由于很多意外的重要的发现,一下子把纽结推到数学的非常中心的地位。反正我不知道,大概你们知道一个诺贝尔奖,杨振宁得了诺贝尔奖了,数学里没有诺贝尔奖,但是数学里有一个奖叫菲尔兹奖,菲尔兹奖是还是相当出名的,大概最有名的奖之一吧。得菲尔兹奖的人里面应该说有三分之一的人是跟拓扑学有关的,近年里面的也有相当一部分人是跟纽结有关的,主要说明它处于一个非常中心的地位。

    但我今天并不想讲,它在数学里会是什么样、什么样子的,我就想说,自从物理学家想解释世界上的现象,造出了第一张纽结表,后来把它忘掉了,数学家就在那儿天天玩儿,玩儿了七八十年,在证明它相同与不相同的过程中发展了大量的数学工具,然后后来意想不到的,它在化学,结晶化学和分子生物学中找到了一些应用。就是早期大家学中学化学的时候都看到,所有的分子式,分子式都是写在纸上的,从来不自交,就是自然的简单的分子都是写在纸上的,后来合成化学发现以后,人们就合成很多很多分子,这分子的话,真是打结的,真是在空间打结的,你看这个就是在1989年合成的,这个里面就出现一个事情叫“手性”。所谓的手性关心的是什么样的性质呢?你比如左手是右手的镜面像,它是它的镜子里的像。当然你不要很挑剔,比如我这个上头缺了一刀有个疤,这边没有疤,这是大概说的,它是它的镜面像。于是乎,它不但在拓扑上是一样的、几何上是一样的,但是你会发现,你没有办法把这个左手移动到右手的位置,或者换句话说,我比较相信一个人伸给你一只手,尽管他这个两只手一个是一个镜子里的像,你马上就会认出来它是左手还是右手,好像早上穿鞋子,不会把左脚穿上右脚一样,是这样的一个特点。它互为镜面像,但是不能从其中一个变形为另外一个的东西,叫手性,手性非常不一样,同样的分子结构,手性不一样,往往可能体现出不同的物理性质和化学性质来,尤其是在制药学的时候,特别是这个样子。这种例子最多,最简单的例子就是氯霉素眼药水,氯霉素眼药水的分子它就是有手性,用具有正确手性的氯霉素眼药水点你眼睛的时候,你眼睛才能治好,用另外一种相反手性的眼药水(点你眼睛)的时候,你眼睛会变得更糟糕。于是就是说,判定分子有没有手性,就成为一个课题,大多数的时候,早期化学家很多时候是用经验的,因为早期是非常平面的,很多是用经验来判别。这个东西就没有手性,这是1840年就知道了,高斯,大家知道高斯,高斯这个学生就发现了这个现象。上面这个三叶结就有手性,他的镜面像是什么样子呢?你看你把这个东西交叉起来是这样的,这个在前,这个在后,那你往镜子里一照,前后刚好对调的。所以,画它的镜面像的时候,这个下行的,变成上行的,这就是它的镜面像,你回去试试,你永远不能把这个变成这个,你假如,有很大的耐心和时间的话,你可以把这个变成这个。这是1914年第一次被证明。

    这是1982年发现在实验室里的,他们合成一种物质,首先合成一个线键,一个线状的东西,然后就是两根链,这些都是模型,原子,或者原子团,这中间是共价键,合成以后,它们又互相合成,合成一个梯子,然后他们最后就把这个两头呢,封闭起来,那封闭起来的时候,有两种可能,一种就是上面跟上面的端点封闭起来了,下面跟下面的端点封闭起来了,另外一种是上面的端点和下面的端点交叉的封闭,形成一个梯子,叫莫比乌斯梯,他们当时就是不能判断,这个东西线度非常小,在高倍显微镜下不能判断,这个封起来以后,究竟是这样子得到的,还是这样子得到的。但是他们希望知道它的生成物是什么东西。这种梯子稍微动一下,可以平摊下来,摊成这个样的东西,可以完全化在平面里面,不自交的,但这个梯子是永远不能,你做不到这一点。完全放在平面里的东西,是没有手性的。理由非常简单,它完全放在平面里,放一个镜子在这儿,得到一个非常对称的像,你现在把镜子抽走,把这个东西平行地移动,就移动到自己了。所以完全放在平面里的东西是没有手性的。科学家用核磁共振的方法,最后得到的是生成物是有手性的,所以他推出来说这个生成物里一定有这样的东西,这是1982年的,他们就向数学家提出来说,能不能在数学上证明这个东西一定有手性,然后这个事情是在1986年的时候被证明的。

    DNA大家就是看到这个梯子,这个梯子跟刚才那个梯子没有关系,你现在看到一个梯状的东西,就是双螺旋结构,酶在DNA上作用的时候,可以引起DNA重组,这个大概是现在分子生物学里头非常重要的课题,他们很关心就是说,酶的作用机理是什么东西,就是酶怎么样引起DNA重组?就是DNA有三个结构,第一个结构叫碱基顺序,这是最重要的,大家知道遗传信息就包含在里面;第二个就是双螺旋在螺旋,它在转,就是双螺旋结构,双螺旋结构基本上是由什么东西决定的呢?是由碱基顺序,以及就是说整个DNA在空间的位置,因为有时候互相之间有点引力,但大致是每过一个梯子转35度,大致是如此。第三个就是,现在很多尤其在小生物里,很多DNA,就是这个梯子是封闭的,可以是封闭的,它可以是像无限长的鱼线,但也可以是封闭的,如果是封闭的情况呢,那这个时候这个中心线,这个整个梯子,你把它像个纽结一样,所以碱基顺序叫第一种结构;双螺旋叫第二种结构;中心线叫第三种结构。

    1971年的时候,生物学家,把同一种DNA,叫底物,同一种底物是不打结的,把它放到一个交泳,就是一个电,一种流质里面,让它带电,带电以后呢,然后给这个电泳池加一个电场,所有的东西就开始往前跑,就是不同位置上的频谱表示不同的速度,最后他们观察到一个现象,这个频谱是离散的,换句话说,就是它跑的速度是离散的,而且有的离散它比较小,就像我这个比较小的,有的呢比较大,那么他们当时就想知道这种现象反应了什么东西,怎么能从这种现象说明酶的作用机理。那现在还是拿我手中这根带子做一个样板,你看我手中是一根带子,它是有宽度的,它有两条边,我现在把这个边,看我这个带子,我现在转这个带子,我把它转、转、转,转了以后我把它封闭起来,封闭起来以后你会发现这是这样一个东西,这个时候,它这个缠绕现象其实可以打结,这是我手上的弄得比较简单,没有打结,就是弄一个封闭的,它这个缠绕的现象它有两种缠绕,一个就是当这个带子本身往下走的时候,它自然的,它会转,你发现没有,这个带子本身在转;第二,这两股带子,它也在缠绕,像油条一样、或者像辫子一样,那么,如果我把这第一种东西,比如我给它取一个名字,第一种这种转的现象叫“拧”,第二种现象因为它是两股,我把它叫做“缠”,那么我发现,我可以打开这个缠,我把这个缠可以打开,这样子我这个缠就被完全打开了,那么当我缠被完全打开的时候呢,拧就加大了,这个拧就很明显,对吧?我让这个缠加大,拧就变得平坦,这个是数学家发现的一件事情。


    在说这个之前,我必须要说一个概念,就是叫环绕数。环绕数你看,这个最上边的小图上面有两个圆圈,像这种情况就是环绕数是1,我们叫做环绕数是1,你给一个定向以后,下面这个呢,这根线绕另外一根线绕了两圈,但是走向相反,箭头反掉了,是负2,像最里面一根,它虽然也是这两个圈永远抖不开的,但这个时候呢,就从环绕数来说呢,它一个是向上的、一个是向下的,所以是零,这是一个数学概念,叫环绕数,所以这个时候他们就发现了一个守恒律,就是我刚才说的,这个守恒律是什么东西呢?就是说这个拧数我们没有定义,但是我们刚才看到这个现象了,就是拧的个数和缠的数目加在一块刚好等于环绕数,等于什么环绕数呢?就是说我这个带子原来放在这儿,这是一根带子,它有两个边,两个边就是两个圆圈,它两个圆圈之间有个环绕数,所以它等于这个东西。所以环绕数它是一个整数,但是这个拧数和缠数呢,都是连续的,就是它不一定要取整数,所以环绕数是这样一个量,刚才这个公式是数学家发现的公式,1969年发现的,后来他们就拿这个公式去解释刚才那个现象。就是说我这个东西作用以后,作用以后它进行了重组,重组以后的话,你可以想象,它有的东西在这个里面,有的它蜷缩得很厉害,蜷缩得很厉害的时候,它这个在电场的作用下它受到的阻力很小,它跑得比较快,有的东西呢,它比较松散,比较松散它受到的阻力就比较大,所以它跑得就比较慢。就是这个对DNA而言,它这个转的速度是完全由碱基顺序所决定的,他们后来把这个生成物打捞上来,发现一下,发现碱基顺序并没有改变,碱基顺序跟以前一样,所以换句话说,拧速应该是跟以前一样,那唯一的引起这种有的紧、有的松的原因,他们就觉得是因为缠数改变了,因为刚才一个等式是拧数加缠数等于环绕数,那是因为环绕数改变了,环绕数改变了刚好就是说这个DNA的一股突然断开了,断开了以后就是这根,断开以后又重接一下,这个断开、重接刚好不改变碱基顺序。

    但是呢,对于改变了环绕数的,环绕数改变1,换句话说呢,它就把这个整个拧数和缠数的和呢,做了一个离散的跳跃,所以因此使得它这个速度产生变化。还有一种频谱间隔特别大的是什么原因呢?他们分析就是因为它同时断开,同时断开又同时接上,这个时候环绕数的改变是2,所以这个之间的频谱就非常大了,当时也是一个很轰动的事情,第一次成功的用数学来解释了DNA的这种机理。

    我结束这个演讲之前说几句话,就是说我们并不是在说哲学还是说什么原理,就是说一个事实,就是从实践里发现问题,发现问题然后经过理论的探讨,最后呢,再回到实践中去,这个就是分子生物学家首先观察的这种现象,然后数学家用理论把它解释出来,这个对不对呢?再拿到实践中去,这个非常有意思的一个事情,这既验证了数学的这种有用,也验证了本身原来分子生物学家的假设是正确的。我们再到更宏观的看来,纽结论本身,它是由物理学的这种需要而产生的,而来因为它不对,至少不能解释物理现象,物理学家就把它忘掉了,它就纯粹的变成一个理论的东西,数学家很愉快,尽管没有任何应用,数学家很愉快的在不停的孜孜不倦的做,耗费自己的时光。然后在做了很多很多年以后,最后终于在生物学和化学中有了应用,从宏观上讲,这个也是一个实践、理论、再实践的过程,不过这个过程不应该这么简单化,就是好象总是起源于实践,到理论再到实践,实际上,我觉得,真理探索它是一个无限的循环的过程,所以叫实践理论,实践理论,我愿意画这么一个图,人们比较喜欢看到实践的东西,不喜欢看到理论的东西,大多数时候(是这样)。理论的东西象纽结一样的循环往复,出来一段,又是一个纽结,出来以后又是一个纽结。所以我最后打算结束这段话的时候,用我当年插队时候念过的毛泽东的一个话,实践理论,再实践再理论,往复循环,以至无限,我的报告完了。

主持人:谢谢王教授

  
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